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任何一门学科,在孩子的任何发展阶段,都能以某种智识上诚实的方式,有效地教授给任何孩子。
--- 杰罗姆.布鲁纳(Jerome Bruner)
在前一篇文章:花 15 分钟,重新认识数的表示与运算 中,给大家介绍了爆炸点这种很有意思的数字表示与运算系统,今天我们接着来进一步看看它的神奇之处。
一、反爆炸介绍
我们先来看看用 1 ← 2 表示的数字 1111,表示出来如下图所示:
回想一下爆炸的规则,从最右边的格子开始,从右向左爆炸,每个盒子里的 1 个点相当于与它相邻右边盒子里的 2 个点爆炸替换而来。
也就是说右边第 2 个盒子里的 1 个点其实是由右边第 1 个盒子里的 2 个点爆炸替换而来的,而右边第 3 个盒子里的 1 个点又是由右边第 2 个盒子的 2 个点爆炸替换而来,也就相当于右边第 1 个盒子里的 4 个点爆炸替换而来。
注:当我们在说一个数字(比如 13)用 1 ← 2 爆炸点机器表示为 1101 时,13 这个数字指的是我们日常生活中所用的数字(由 1 ← 10 表示)
上图中下方的数字表示出了当前盒子里的 1 个点相当于最右边盒子里的几个点爆炸替换而来。根据每个盒子 1 个点所代表的数字来计算,1111 还原回去应该是数字:8+4+2+1 = 15 。
假如我们将 1111 一步一步还原的话,过程如下图所示,这种还原的方式我们可以称之为反爆炸。
如果是 1 ← 3 的爆炸点机器呢?根据爆炸规则 ,那就是 3 个点爆炸并被相邻左边盒子里一个新的点替换,1111 在 1 ← 3 爆炸点机器里表示出来如下图所示:
你能通过反爆炸规则得出爆炸前第一个盒子里的数字原本是多少吗?
有了前面的铺垫,我们再来看看一种特殊的一类场景,用爆炸点机器如何来表示。
二、负数的引入
其实,早一点引入负数对于孩子学习数学是有帮助的,只是传统引入负数的方法不是特别好,而 James Tanton 用了一种非常巧妙的方法来引入负数,最终通过爆炸点来统一表示,非常容易理解。
在生活中,经常会遇到一些相反意义的量。比如说:
- 收支记录:我们在记录自己每天的收支时,可能今天收入了 200 元,但支出了 300 元,同样的数字,一个是表示收入,一个是表示支出,用数字如何体现出收入与支出的差别?
- 楼层表示:家里住的高楼或办公写字楼,一般是从地面开始计算,1 楼、2 楼、3 楼,但地面以下的停车场呢,用数字如何表示?
- 温度表示:零度以上是 1 ℃、2℃、3℃,但有些冷的地方会到零下,零下的度数用数字如何表示?
为了简化,我们用一组比较容易理解的相反意义的量来做类比。
小时候大家都喜欢玩堆沙子的游戏,我们用下面的一组符号来表示沙堆和沙坑,一个沙堆通常对应着挖出的一个沙坑,一个沙堆和一个沙坑合并,刚好抹平,我们可以用下面简化的图示运算来表示沙堆与沙坑之间的关系:
如果有多个沙堆和沙坑呢?容易得出下面的运算关系:
如果一个沙堆用数字 1 来表示,一个沙坑用数字 -1 (读作负一)来表示,刚好抹平的沙子用 0 来表示。上面的运算过程配上数字表示,如下图所示:
沙堆和沙坑这个类比挺好的,但每次画沙堆和沙坑不太方便,而且为了和咱们的爆炸点结合起来,我们再作一次简化(抽象),用实心的圆点代表沙堆,用空心的圆点代表沙坑。
经过再次简化,转换为下图所示(最后红色的为数字 0):
三、用爆炸点实现负数运算
你会发现,负数并不神奇,它仅仅就是用负号(-)表示的一种“沙坑”而已 😀。
有了这个基础,我们常见的数字基本运算其实完全可以用实心或空心圆点来表示。比如说:
换个角度来看减法,其实很好理解,6 - 2 可以写成 6 +(-2),4 - 6 可以写成 4 + (-6),不要老想着 4 - 6 不够减,怎么办呀?
我们传统教学中学习减法的时候,为了便于理解,是借鉴了日常生活中的现象来解释减法的,如:我有 5 个苹果,分给弟弟了 3 个,还剩下几个?如果一开始就陷入这种表达,3 - 5 反而不好解释了。
实际上我们应该反过来,通过一种更中立的方式引入“负数”,再用不同的生活现象去表达负数的意义,反而能更好的去理解什么是“负数”。
下面的讨论中,如果不特别说明,默认指的都是 1 ← 10 表示的数字,也就是我们日常生活中用的十进制数字。
下面我们用爆炸点的方式来看一看小学阶段的减法问题,比如:
计算:468 - 132 = ?
为了更容易理解,我们还是用 1 ← 10 爆炸点机器先把两个数分别表示出来,如下图所示,在画点的时候,最好是从最右侧开始画点,这样就不用去关心位数了。
也可以直接把相减的两个数写到一起,更方便计算一些。
实心与空心圆点的运算规则我们已经知道了,很容易得到结果为:336。
再来计算一个更复杂一点的:
计算:413 - 256 = ?
第一步,先用 1 ← 10 的爆炸点机器表示出来,然后按照规则进行计算:
比较有意思的是,这里我们得到的结果为 2 | -4 | -3,虽然看起来很奇怪,实际上这个结果是对的,只是这样的表示和我们通常认识的数字不太一样而已。
为了结果看起来更“正常”,在爆炸点机器里,我们约定最终的计算结果中实心圆点和空心圆点不能同时存在。
为了消除实心或空心圆点,我们通常从最高位(最左侧)开始,如果最左侧为实心圆,那我们最终的结果是要消除掉空心圆点;如果最左侧为空心圆点,那最终结果就是要消除实心圆点。
在当前的算式中,最左侧为实心圆点,那我们就需要消除掉空心圆点,这就需要用到刚刚学到的反爆炸知识了,一个实心圆点可以反爆炸还原为相邻右侧盒子中的 10 个实心圆点,然后就可以继续按照规则合并实心圆点与空心圆点了。
因为结果中同时还有实心圆点和空心圆点,按同样的规则继续运算:
因此 413 - 256 = 157
。
最后再来一个计算:
计算:123 - 456 = ?
再次提醒,不要想不够减的事,直接用 1 ← 10 爆炸点机器表示出来,按规则运算即可:
结果已经只有空心圆了,不用再计算,把负号写到数字前面就得到了结果:123 - 456 = -333 。
四、小结
对比一下爆炸点计算方法与我们在学校里学习的减法运算方法:
左侧传统的减法运算是从右到左执行的,我们运用的是「退位」思想;而爆炸点是直接从左到右执行的,我们运用的是「反爆炸」思想。本质当然是一致的,但爆炸点运算给你了一种完全不同的思考角度去看待减法运算(以及负数)的方式。而且我觉得更简单易懂!
最后用一个更大位数的计算作为本文的结束:
计算:5425 - 3517 = ?
我们现在可以暂时不画图了,直接从左到右按规则计算即可:
5425 - 3517 = 2 │ -1 │ 1 │ -2 │ = 1 │ 9 │ 1 │ -2 │ = 1 │ 9 │ 0 │ 8 = 1908
这样的计算方式,是不是另有一番风味呢!
预告&诚邀
本篇介绍通过爆炸点介绍了负数及其运算,在自己以往的实践中,一二年级的孩子完全可以学会,而且也可以顺畅的运用爆炸点进行各种加减运算,负数也不在话下。下篇中,将继续为大家介绍如何运用爆炸点进行乘法表示及运算。
另外,爆炸点这种方法我觉得很适合教给适龄孩子,并不会影响他们日常在学校里学习的内容,反而可以作为补充,对他们理解数字以及运算背后真正的意义是非常有帮助的。
可惜在国内知道的人还很少,中文资料更少了,希望后面自己在这一块能通过写文章、录视频或组织活动起到一点推广作用,如果你也感兴趣,想一起来参与,可以通过下方微信 👇 联系我,一起聊聊。